$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\left[ {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{x + 1}}{{2x + 1}}} \right) - \frac{\pi }{4}} \right]$ का मान है

मान लीजिए $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है जैसे कि $f(0)=0$ और $f^{\prime}(0)=20$ है। $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ के लिए,यदि $A(x)=2 f(x) \operatorname{cosec} 4 x+4 f(x)\left(\cos ^2 x+1\right)-4 \cos ^2 x$ है,तो $\lim _{x \rightarrow 0} A(x)=$

$\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1+5x^2}{1+3x^2} \right)^{\frac{1}{x^2}}$ का मान है

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - ax)^{\frac{1}{x}}} = $

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \tan x+\cos x-1+x}{\sqrt{4 \sin ^2 x+2 \tan x+1}-\sqrt{3 \tan ^2 x+\sin x+1}} = $

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+x^2+\ldots+x^n-n}{x-1}$ का मान है